대각 행렬

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 스칼라 행렬
5. 예
6. 응용
7. 기타
참조

1. 개요

대각 행렬은 환 R 위의 n × n 정사각 행렬로, 주대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 행렬이다. 대각 행렬은 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이며, 고윳값은 대각 성분이고 대각화 가능하다. 스칼라 행렬은 주대각 성분이 모두 같은 대각 행렬로, 항등 행렬의 스칼라 배수로 나타낼 수 있으며, 행렬 대수의 중심에 속한다. 대각 행렬은 선형대수학, 작용소 이론, 수치 해석 등 다양한 분야에서 활용되며, 행렬 연산과 고유값, 고유벡터를 쉽게 다룰 수 있도록 돕는다.

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성긴 행렬 - 영행렬
영행렬은 환 $R$ 위의 모든 성분이 0인 $m \times n$ 행렬로서, 행렬 공간의 덧셈 항등원 역할을 하고, 임의의 행렬에 곱하면 영행렬이 되며, 선형 변환에서는 모든 벡터를 영벡터로 보내는 변환을 나타낸다.
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대각 행렬
개요
대각 행렬의 예 (주대각선 외 모든 원소가 0임)
정의	주대각선 원소 외 모든 원소가 0인 정사각행렬
세부 정보
표기법	diag(a1, a2, ..., an)
성질	대각 행렬은 정사각행렬이다. 대각 행렬은 대칭 행렬이다. 대각 행렬은 상삼각행렬이자 하삼각행렬이다. 대각 행렬의 고윳값은 주대각선 원소이다. 대각 행렬은 정규행렬이다.
연산	대각 행렬의 행렬식은 주대각선 원소의 곱이다. 대각 행렬의 역행렬은 주대각선 원소의 역수로 이루어진 대각 행렬이다 (단, 주대각선 원소가 모두 0이 아니어야 한다).
종류	단위행렬: 주대각선 원소가 모두 1인 대각 행렬 스칼라 행렬: 주대각선 원소가 모두 같은 대각 행렬
활용
응용 분야	선형대수학 행렬 연산 수치 해석
예시	고유값 분해 특이값 분해
일반화
블록 대각 행렬	주대각선이 블록 행렬인 행렬

2. 정의

환 $R$ 위의 $n \times n$ 정사각 행렬 $D \in \operatorname{Mat}(n;R)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 '''대각 행렬'''이라고 한다.

임의의 $i, j \in \{1, \dots, n\}$ 에 대하여, 만약 $i \ne j$ 라면, $D_{ij} = 0$
$D$ 는 상삼각 행렬이며, 동시에 하삼각 행렬이다.

각

i

번째 대각 성분이

d_i \in R

인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n) = \begin{pmatrix}d_1 \\& d_2 \\& & \ddots \\& & & d_n\end{pmatrix}

마찬가지로, 임의의 크기

m \times n

의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.^[6]

:

\operatorname{diag}_{m \times n}(d_1, \dots, d_{\min\{m,n\}})

3. 성질

환 위의 모든 대각 행렬은 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다.^[7] 표수가 2가 아닌 환 위에서는 대각 행렬과 대칭 행렬이면서 반대칭 행렬인 것이 동치이다.

체 위의 대각 행렬의 고윳값은 대각 성분들이며, 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치한다.

환 위의 모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 체 위의 정사각 행렬 $M$ 이 대각화 가능 행렬인 것은 $M$ 의 모든 고윳값의 기하적 중복도가 대수적 중복도와 일치하고, $M$ 의 최소 다항식이 1차 다항식들의 곱인 것과 동치이다.

실수 정사각 행렬 $M$ 이 직교 대각화 가능 행렬인 것은 $M$ 이 대칭 행렬인 것과 동치이다.^[7] 복소수 정사각 행렬 $M$ 이 유니터리 대각화 가능 행렬인 것은 $M$ 이 정규 행렬인 것과 동치이다.^[7]

대각 행렬의 행렬식은 주대각 성분들의 곱이다.

대각 행렬의 역행렬은 주대각 성분들의 역수를 주대각 성분으로 하는 대각 행렬이다.

대각 행렬의 행렬 덧셈과 행렬 곱셈은 같은 위치의 대각 성분끼리 더하거나 곱하는 것으로 간단하게 계산된다.

대각 행렬과 벡터의 곱셈은 각 성분에 대응하는 대각 성분을 곱하는 것으로, 아다마르 곱(항별 곱)을 사용하여 표현할 수 있다.^[2]

4. 스칼라 행렬

주대각 성분이 모두 같은 대각 행렬을 '''스칼라 행렬'''이라고 하며, 항등 행렬의 스칼라 배수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 3×3 스칼라 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

: $\begin{bmatrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix} \equiv \lambda \boldsymbol{I}_3$

스칼라 행렬은 행렬 대수의 중심에 속하며, 동일한 크기의 다른 모든 정사각 행렬과 교환 가능하다.^[1]

5. 예

모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬과 영행렬은 대각 행렬이다.

다음은 대각 행렬의 예시이다.

$2\times 2$ 실수 행렬:

:

\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 2 \\\end{bmatrix}

$4\times 4$ 실수 행렬:

:

\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\0 & 5 & 0 & 0 \\0 & 0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

$4\times 4$ 실수 행렬:

:

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 10 & 0 & 0\\0 & 0 & -8 & 0\\0 & 0 & 0 & 7\end{bmatrix}

$5\times 3$ 실수 행렬:

:

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

$2\times 4$ 실수 행렬:

:

\begin{pmatrix}9 & 0 & 0 & 0 \\0 & 5 & 0 & 0\end{pmatrix}

6. 응용

대각 행렬에 벡터를 곱하면 각 항이 해당 대각 항목과 곱해진다. 이는 아다마르 곱(항별 곱)으로 표현할 수 있으며, 희소 행렬의 0이 아닌 항만 저장하면 되므로 효율적이다. 이러한 특성 때문에 대각 행렬의 곱은 기계 학습에서 역전파의 미분 곱을 계산하거나, TF-IDF에서 IDF 가중치를 곱하는 데 사용된다.^[2]

대각 행렬의 행렬 곱셈과 행렬 덧셈은 매우 간단하다. 대각 행렬 ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$는 모든 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$이 0이 아닐 때 가역 행렬이며, 이 경우 역행렬은 ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}$이다.

연산자 행렬의 계수 결정에서 설명한 바와 같이, 어떤 행렬이 대각 행렬 형태를 갖는 특수한 기저가 존재한다. 이때 대각선 요소는 고유값이 되고, 관련된 고유벡터가 기저를 형성한다. 이 방정식은 특성 다항식을 도출하는 데 사용되는 '''고유값 방정식'''이다.^[4]

대각 행렬은 선형 맵을 대각 행렬로 나타내는 것이 유용한 선형대수학의 여러 분야에서 나타난다. 주어진 행렬이 선형 독립인 고유벡터를 가질 때 대각화 가능하며, 정규 행렬은 대각 행렬과 유니타리 유사하다는 스펙트럼 정리가 성립한다.

작용소 이론, 특히 편미분 방정식 연구에서 작용소는 고유함수의 고유 기저로 기저를 변경하면, 변수 분리된 편미분 방정식을 쉽게 풀 수 있다. 푸리에 변환은 열 방정식에서 라플라시안 작용소와 같이 상수 계수 미분 작용소를 대각화하는 중요한 예이다. 특히 쉬운 것은 곱셈 작용소이며, 함수의 값은 행렬의 대각선 요소에 해당한다.

수치 해석에서 자주 등장하는 '''삼중 대각 행렬'''(tridiagonal matrix)은 주대각선과 그 위아래에 인접한 대각선에만 0이 아닌 성분을 갖는 희소 행렬의 일종이다.^[5] 이러한 행렬은 토마스 알고리즘(TDMA)을 사용하여 효율적으로 해를 구할 수 있다.

7. 기타

벡터 $\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}$ 로부터 연산자를 사용하여 대각 행렬 $\mathbf{D}$ 를 구성할 수 있다.

: $\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)$

이는 $\mathbf{D} = \operatorname{diag}(\mathbf{a})$ 로 더 간결하게 쓸 수 있다.

동일한 연산자는 각 인자 $\mathbf{A}_i$ 가 행렬인 $\mathbf{A} = \operatorname{diag}(\mathbf A_1, \dots, \mathbf A_n)$ 로 블록 대각 행렬을 나타내는 데에도 사용된다.

$\operatorname{diag}$ 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = \left(\mathbf{a} \mathbf{1}^\textsf{T}\right) \circ \mathbf{I}$

여기서 $\circ$ 는 아다마르 곱을 나타내며, $\mathbf{1}$ 은 원소가 1인 상수 벡터이다.

역행렬 행렬-벡터 $\operatorname{diag}$ 연산자는 때때로 동일한 이름인 $\operatorname{diag}(\mathbf{D}) = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}$ 로 표기되며, 여기서 인수는 이제 행렬이고 결과는 대각선 항목의 벡터이다.

다음 속성이 적용된다.

: $\operatorname{diag}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \sum_j \left(\mathbf{A} \circ \mathbf{B}^\textsf{T}\right)_{ij} = \left( \mathbf{A} \circ \mathbf{B}^\textsf{T} \right) \mathbf{1}$

참조

_[1] 웹사이트 Do Diagonal Matrices Always Commute? https://math.stackex[...] Stack Exchange 2016-03-15
_[2] 서적 Text Mining: Classification, Clustering, and Applications https://books.google[...] CRC Press 2009-06-15
_[3] 웹사이트 Element-wise vector-vector multiplication in BLAS? https://stackoverflo[...] 2020-08-30
_[4] 서적 Mathematical Tools for Physics http://www.physics.m[...] Dover Publications 2012-01-01
_[5] 서적 コンピュータによる流体力学シュプリンガー・フェアラーク東京
_[6] 서적 Matrix computations https://archive.org/[...] The Johns Hopkins University Press 2013
_[7] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971
_[8] 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach 학산미디어 2013

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